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[lin91957]

n维欧氏空间R^n中全微分方程的Frobenius条件
ntialequationintheEuclideanspaceR足Leibniz条件的线性函数。如果对任意的点P∈则((p))自然是()的n—r维子空间，称为M，存在r(≤n)个线性无关的光滑切量场，(p)的匕子空间，．’’：，则：=，、s!{，，…，r}为光滑流一在上任意一点胀域内，存在n一，，个线形『，三：篓。y击,[link widoczny dla zalogowanych]，h占h如的—i，：’菩孬XP对于任意的向量场，，它们的oisson积一．’【J”～．[，]：量《一(1)空间((p))，即((p))=span{to，…，}，因．，。量’滑上1的_二坌形式，，y为因此，Phaff形式∞：0(1≤a≤，)完全可x积"／芰，奏义-yy、的充：0．一’一罔。y，∞儿：的’rob。ni条件应用到F因此r维分布robenius条件可以改述沱的鲁斌：．““兀土仍“几门设rpan{，，…，Xr}为光滑流形M_kR。中,[link widoczny dla zalogowanych]，即(参见[1]，[23)的一个r维分布，则在任一点∈M，是在点P定理13维欧氏空间中全微分方程馨韶雩：絮的余切空力：∑3MM：0(5)间即()的对偶空间记为()，命“鲁～‘。收稿日期：2005—09—28基金项目：贵州省优秀科技教育人才省长专项基金项目。作者简介：袁娜(1981一)，女，2004级在读硕士研究生，研究方向：积分几何。85贵州师范大学学报(自然科学版)第24卷(一差)+f2~ax3-一8x1)+(一1：0．(6)8x，，证明：d=d(3)=3八=(善一ax2)dx八+(差一蓑)八，+(鲁一要)，(7)利用Frobenius条件啪n=0即得到d八=((筹一)八：+(一8x3)dx：八，+(要一8x3)dx八，)八(3i)=((差8x3)+f2~8x3—8～X1)+(一))八：八，=0，即(箬一蓑)+(一8xI)+(罢一=0如果我们把定理1推广到中，即中全微分方程组=∑f,[link widoczny dla zalogowanych],dx=0((为光滑函数)，完全可积的充要条件是什么?本文的主要目的是类似干定理1的证明方法，即要使=0完全可积的意思是：在每个充分小的领域内存在光滑函数F，使F=const是它的初积分，由Frobenius条件知n=∑=0完全可积的充要条件是d八=0．因为86用d与作“外积”，并进行交换指标、合并等复杂运算，即得d八=(毫(篓一差)i八)八(rt)=(篝一差)+(蓑一善)+(篆一))八八．(10)因为{八，八，1i<<kn}线性无关，所以=0的Frobenius条件d八=0，由(10)立即可得(詈一蓑)+(差一蓑)+(差一筹)=0．1i<J<k5n．(11)即我们证明了定理2设(i=1，…，n)为R中的光滑函数，则全微分方程∑=0完全可积的充分必要条件是(箬一蓑)+(差8xi)+(差一篆)=0，1≤i<_『<k≤(12)当n=3时，(12)式即为(蓑一蓑)+(要一筹)+(鲁一1：0．揪2，即定理1因为流形是局部欧氏空间，因此定理2可推广到流形上,[link widoczny dla zalogowanych]，即定理3设M为n维光滑流形(i=I，…，n)为流形M上的可微函数，则在M的任一邻域U上的全微分方程∑=0完全可积的充分必要条件是：在U上,[link widoczny dla zalogowanych]，对任意的I<J<kn．(差一差)+(鏊一差)+(差一箬)=0
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